“几何矿工”顾险峰：数学到现实世界的折返之途有多远？

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8月12日凌晨4点左右，顾险峰乘坐ca990航班抵达首都国际机场。每年夏天，顾险峰都会从纽约飞回北京，在清华大学丘成桐数学中心做大约3个月的讲座。

顾险峰，美国纽约州立大学石溪分校计算机科学与应用数学系终身教授，哈佛大学数学科学与应用中心兼职教授，清华大学丘成桐数学科学中心客座教授，晨星数学奖获得者，中国微分几何大师丘成桐的学生。

在从纽约到北京的13个小时的飞行中，顾险峰一直在与一个与三维流形向量簇有关的数学问题竞争。这个过程很艰难，思路也不清楚。用他的话来说，这是在挠他的耳朵。

对其数学本质的理解可以大大提高工业建模的效率，这正是三维打印迫切需要突破的技术节点。顾险峰获得了解决“曲面”问题的数学工具——19世纪上半叶发展起来的阿贝尔定理。现在，顾险峰想把它推广到三维流形。顾险峰说:“可能还需要四五年的时间来研究。”

顾险峰喜欢音乐。在清华读书的时候，他是学校军乐队的小号手——顾险峰嘴唇薄，适合吹小号。

最近，顾险峰看了一场名为“乐队之夏”的综艺节目。他被刺猬乐队的一首抒情诗深深打动了。原来的歌词是“一代终有老，但总有人在变年轻”，顾险峰记得“我们在变老，但总有人在变年轻”。

顾险峰不说话的时候似乎在微笑，当面交流的时候却很随和。然而，在他的社交平台号码上，他会不时在信息室与读者争论。顾险峰在一篇文章中写道:“让人摸不着头脑。”顾险峰回答说:“创造力符合自然规律，这些规律就是几何学。”

热爱几何的顾险峰不是数学专业的学生。清华上学时，他的专业是计算机理论。此后，顾险峰不再专注于基础数学理论研究。作为一名应用数学家，他扮演着“矿工”的角色。他需要在现实世界中找到问题，清楚地看到它们的数学本质，然后回到几何学的“矿井”去寻找数学工具来解决积累了数百年的理论中的问题——这个过程并不像描述的那样容易，而且可能需要五年甚至更长的时间。

一系列新技术浪潮的兴起，如人工智能、3d打印、5g等。，已经把顾险峰的需求带到了工程领域的顶峰。这些技术浪潮不仅依赖于纯数学提供的工具，还需要更多的理论支持来突破瓶颈。“我想是的。一个过程或技术可以是有效的，经得起时间的考验。它必须符合某些自然规律，它自然属于数学的一部分。”

两个菲尔兹奖获得者的学生

2018年11月22日，顾险峰应邀到纽约长岛海滩上的一个朋友家参加感恩节聚会。宴会的主菜是蓝莓酱烤火鸡，顾险峰带来了他家乡的特产——东北拉皮。

顾险峰在美国时，不经常参加聚会、讲学、写论文，大部分时间都被他用来发呆和思考。他甚至想过走路、除草和洗碗，有时他一个月都不能和别人说几句话。

这是顾险峰在美国的第24个年头。

1995年，顾险峰去哈佛攻读计算机科学博士学位。他的导师是英国贵族大卫·芒福德。在哈佛任职期间，大卫·芒福德坚持一分钱也不付。

1974年，大卫·芒福德获得了菲尔兹奖，这是数学领域因其对代数几何的贡献而获得的最高奖项。令人惊讶的是，大卫·芒福德获得菲尔兹奖后，扔掉了所有的数学书籍，投身于计算机视觉的研究，而他所放弃的最终成为了顾险峰投身的研究领域。

顾险峰进入哈佛后不久，大卫·芒福德因个人原因离开哈佛大学，将顾险峰托付给另一位菲尔兹奖获得者。

这位未来的导师毫无例外地坚持一种教学风格。不管申请人是否有背景，只要他对学习感兴趣并能提出深刻的问题，老师都愿意教。

幸运的是，顾险峰之前在麻省理工学院人工智能实验室参加过机器视觉课程，偶然听到一个问题:“如何重建高斯曲率的曲面？”顾险峰认为这是个好问题。当顾险峰遇到未来的导师时，他抛出了这个问题，并获得了未来导师的认可。

由于研究领域的变化和对个人生活道路的怀疑所带来的短期不适，顾险峰在更换导师后曾过着相当压抑的生活。“当时，我不知道出路在哪里。一些去硅谷工作的学生来看我，他们的眼里充满了同情，特别沮丧，”顾险峰说。

当时，顾险峰住在地下室，房间里唯一的窗户是在地面上，波士顿冬天的大雪压了下来。

夷平新世界

顾险峰的新导师叫丘成桐。

丘成桐，祖籍广东梅州，几何分析学派创始人，中国数学家。

丘成桐的研究领域是微分几何，这是一个用微积分理论研究空之间几何性质的数学学派。在物理学的几何过程中，物理现象通常用微分几何来描述和解释。例如，重力被解释为空.之间的弯曲因此，微分几何经常被用来描述更复杂的空结构，甚至是不可观测的高维空结构。

丘成桐先生曾经证明了卡拉比的猜想，并由此构建了卡拉比-丘·空室。后来，物理学家发展了超弦理论，以统一广义相对论和量子力学。超弦理论断言宇宙是10维的，四维时间中的每一点空都有一个6维的卡拉比丘空作为纤维。这个理论已经被用来解释BIGBANG和黑洞的内部结构。因此，“卡拉比-希尔流形”成为物理弦论的数学基础之一。

20世纪末，随着图形处理卡(gpu)的出现，人类社会开始具备构建虚拟世界的能力，其中涉及到大量的3D几何设计和物理仿真。其中一个难点是如何在虚拟空中展平“表面”,即表面参数化问题——解决这个问题可以使虚拟世界更接近真实世界，如视频游戏中的纹理映射技术，并实现三维角色服装设计和皮肤模拟。

具有计算机和数学双重学术背景的顾险峰在一次图形学术会议上听到了关于这个问题的讨论。当时，局部曲面的参数化问题已基本解决，但曲面的全局参数化成为一个瓶颈。

陈省身先生曾经创立了全球微分几何。作为陈先生的孙子，顾险峰意识到应该有一个全局参数化方法。为了理解这个问题的数学本质，2000年的一天，顾险峰在他丘成桐的办公室里问他。

丘成桐在黑板上阐述了20世纪60年代的一个数学定理:Artia-Singer指数定理，它是联系微分几何、分析和拓扑学的一个基本定理。利用它的证明思想，曲面可以用全纯一阶微分进行全局参数化。

“爽朗”、“深刻细腻”和“美丽”。在为丘成桐70岁生日写的一篇文章中，顾险峰用这三个字来描述他那一天的感受。

经过这几年的对话，顾险峰和丘成桐无意中给医疗检测行业带来了一个变化——直肠癌检测。

直肠癌从息肉到癌变有很长的一段时间，可以通过结肠镜检查发现并及时治疗。然而，传统的光学结肠镜检查需要全身麻醉，这对肠壁薄的人(如老年人)也有一定的风险。

诞生于20世纪70年代的Ct技术可以在虚拟世界中重建肠道曲面，从而避免医生和患者之间的身体接触，降低诊断的侵入性，避免传统光学结肠镜的潜在风险。肠道的几何形状有许多扭曲，息肉可能隐藏在肠道的大量褶皱中。为了使检测准确，有必要在虚拟世界中“展平”肠道，并将皱襞中的所有病变暴露给医生。

在数学问题的本质中，“拉平”肠子和纹理映射3D游戏角色的皮肤没有太大区别。顾险峰研究的算法已经开始使用。顾险峰在结合其他数学工具的基础上，形成了一套虚拟结肠镜的算法，后来成为西门子、ge等公司相关产品的基础。

到目前为止，顾险峰将抓住这个机会，看看他的研究突破是否已在医院得到广泛应用。

“我经常扮演翻译的角色，在工程领域寻找问题，然后寻找其数学本质；找到之后，我们将把这些数学工具转化成可以在计算机领域使用的算法。”

虽然只是轻描淡写，但数学世界和计算机世界之间的转折需要跨越离散世界和连续世界之间的“障碍”——传统的微分几何要求曲面具有微分结构，而计算机中的数据结构是离散的，因此微积分等传统数学工具不能直接应用——这通常需要几年时间。

痛苦和美丽

1989年，顾险峰考入清华大学计算机科学与技术系。当时，清华的这个专业试图同时教授数学和计算机。

顾险峰还记得，当时数学分析课的老师是一位老教授，刚被清华从内蒙古边境召回。老教授直接选择了莫斯科大学数学系的教材，这些教材都是由教授翻译和手刻的。

前苏联高中数学的难度和深度比中国高得多，一个班的学生学习非常努力。顾险峰还记得，在同一个班的宿舍里经常会发生这样的事情:深夜熄灯后，大家都在烛光下看书，一个人学着学着哭，最后变成了宿舍集体哭。

17个班级中有4个很快逃离了战场，转了专业，而其余的毫不犹豫地冲进了20世纪90年代初中关村的第一波计算机创业浪潮。

顾险峰的一位大学同学提到，很少有学生能理解顾险峰目前的论文。这位同学说:“每个人都在看课文，当他们看到公式时，他们就走过去了。”

数学是一条漫长的道路，即使它是通向现实的道路。

顾险峰年轻时常常感到沮丧和怨恨。有一次，顾险峰和丘成桐发现了一种可以解决工程问题的数学理论。在它被释放之前，他们认为它会引起巨大的轰动，但是在它被释放之后，就像石头被扔进了池塘，很少有人回应。

工程学需要时间来理解数学，而一个新的数学理论通常会经历一个孤独的过程，几年甚至几十年。

“几年后，加州的一个团队终于重新发现了这个理论。他们在此基础上设计了一种算法，这种算法被广泛使用，但它与我们无关。”

直到现在，顾险峰经常感到焦虑，他隐约感觉到一些问题的数学本质，但他根本打不开最后一扇窗，所以他在脑海里隐约浮动。顾险峰说:“当你想到世界上有这么多的牛人都在思考这个问题时，有时你会睡不着觉。”

早年，顾险峰用音乐来传达这种苦闷。在波士顿的地下室，顾险峰演奏萨克斯，在清华的校园里，顾险峰演奏单簧管和圆号。

顾险峰喜欢音乐。他认为音乐像数学一样，反映了人类的智慧和美丽。

顾险峰偶尔会用极其浪漫的语言来描述与数学有关的一切，描述由人类智慧结晶组成的理论“矿”。

他认为即将投入使用的北京大兴国际机场是美丽的，因为机场采用的结构是从黎曼几何中诞生的，突破了传统建筑中欧几里德几何的范式；他认为苏州园林的门窗之所以漂亮，是因为运用了各种平面对称；在一篇文章中，他还阐述了咖啡花画背后的几何变化。

顾险峰在他的一篇文章中写道:“每个年轻人都有一种顿悟，在那一刻，他或她的灵魂被高斯和陈省身的灵魂所缠绕和折磨，颤抖了很长时间。”

20世纪30年代，美国奥地利数学家和逻辑学家哥德尔曾提出一个“不完全性定理”——即任何没有矛盾的公理系统，只要它包含初等算术的陈述，就必然有一个不可确定的命题，并且不能用这组公理来判断它是真是假；这一原理对理论数学产生了巨大的影响:它意味着无数数学家曾经期盼的能够解释一切、整合一切的“完整理论”可能在逻辑上不存在，数学的“终极美”已经在一些研究者的头脑中崩溃了。

然而，顾险峰认为，如果我们深入到每一个实际问题中，仍然可以发现数学的自洽性和完备性。“自然是惊人的。如果它是一种容易使用、经得起时间考验的东西，那么它背后一定有某种数学规律。”

19世纪数学家高斯写道:“你，自然，是我的女神，我对你的法则的贡献毕竟是有限的。”